Учился в Воронежской бесплатной рисовальной школе (1893-97, у М. И. Пономарева, Л. Г. Соловьева), петербургской школе М. К. Тенишевой (1898—1899), окончил Высшее художественное училище при Императорской Академии художеств (1904; дипломная работа — «Смерть Дмитрия Самозванца»).
Ученик И. Е. Репина.
В 1907 вернулся в Воронеж. Обустроил летнюю мастерскую в Подгорном. Почти всё время проводил с женой, они вместе ходили на этюды. Любимой темой Бучкури была русская деревня и её жители, художник часто писал свою красавицу жену.
Переезд ничего не изменил в жизни художника, он по-прежнему наведывался столицу, принимая самое активное участие в различных художественных выставках. Он много и напряжённо работал. Об этом периоде творчества художника достоверные сведения отсутствуют. Известно лишь, что написал несколько портретов Петра I, один из которых приобрела Воронежская городская Дума, а другой — Дворянское собрание (оба не сохранились). Многие работы мастера в эти годы приобретала и щедро оплачивала принцесса Евгения Максимилиановна Ольденбургская.
Преподаватель в Воронежской бесплатной рисовальной школе (с 1909), Свободных художественных мастерских (1919-22), Художественно-промышленном изотехникуме (1923-29). Бучкури воспитал таких известных мастеров живописи, как Михаил Лихачев, Аркадий Васильев, Василий Белопольский, Борис Тимин..
В 1920-е гг. один из организаторов филиалов Ассоциации художников революционной России и ОМАХР в Воронеже.
В 1933 г. Бучкури вёл активную деятельность по организации «Союза художников ЦЧО», в которую входили художники Воронежа, Орла и Курска, и от Воронежа входил в президиум правления «Союза».
В 1942 году, в период временной немецко-фашистской оккупации Воронежа, Александр Алексеевич Бучкури погиб от рук фашистских захватчиков.
Одна из жительниц города, знавшая художника, рассказывает, что в конце лета (в июле-августе) 1942 года группа воронежцев была приведена оккупантами в район Красноармейской улицы. В этой группе находился и Александр Алексеевич со своей женой, которую он поддерживал под руку. Высокий, в сером плаще, он очень выделялся в толпе. Вскоре все были расстреляны.
Есть и другие версии гибели художника. Некоторые воронежцы утверждают, что он был расстрелян в конце улицы Кольцовской. Другие утверждают, что художник Бучкури и его жена были расстреляны фашистами 5 августа 1942 года во дворе комендатуры на улице 9 Января. Вместе с ними были погибли два брата Вассы Иосифовны, а также музыкант Левинсон. Очевидцы утверждают, что долгое время во дворе комендатуры, среди кучи мусора, лежал диплом Академии художеств, выданный Бучкури.